文章 - 邓英淘：河流学中的R-S反比关系

在我帮助林老整理他的著述《河流辩证法与冲积平原河流治理》时，曾多次听到他说：在一定的条件下，R（水力半径）与S（坡降）的乘积等于某个常数，即当S变大时，S就变小；反之亦然。这是林老从大量的河流现象中归纳出来的，我称之为R-S反比关系，它做为一条公理可以成为我们进一步分析河流运动的工具。也有一些专家认为，更稳健的表述应是R-S反变关系（或逆变关系）。反变关系还是一种定性的认识；而实际上，林老对R与S的认识已经深入到了定量的层次。本文是我学习林老治水思想的一点体会。

一、  明槽均匀流的情况

    2000年8月28日，在我第一次拜访林老时，首次听他说起R-S反比关系，后来又听他多次提到这个关系，但都没有给我留下多深的印像。直到2003年5月，他给我讲述了一个具体的例子，现概述如下：在郑州附近，黄河到河口的距离约700km，郑州枯水时节的水面高程是90多米；相比而言，长江大通水文站的枯水位高程不到10米，它到海口的距离有600多km。在距河口距离大体相等的情况下，两者的坡降相差10倍左右，而两者的宽深比（等于B^1/2/H,其中B为河宽，H为平均水深）也相差10倍左右（在距河口700km左右处，黄河的宽深比为二十多，长江为二点几[1]）。一般说来，在河流宽度达到数百米乃至上千米时，它的R值近似于水深[2]，以此估计，长江、黄河相应地段的R值也相差10倍左右[3]。

    这种情况不是偶然的，它使我产生了浓厚的兴趣。以下先从曼宁公式开始来对其做一点数理上的推导。

    在明槽均匀流的情况下，曼宁公式给出了水力学中最重要的4个要素间的关系：

V=（1/n）R^2/3S^1/2

    其中：V为水流流速，n为糙率，R为水力半径（等于过水断面面积除以湿周），S为坡降。

    在糙率给定的情况下，有n=n_o，由于明槽均匀流的V是沿程等速的，故可设其为V_o，则有下式：

N_oV_o=R^2/3S^1/2, 令R^2/3=R_*和S^1/2=S_*，则有N_oV_o=R_*S_*

    后式是一种严格的反比关系，即R的2/3次方与S的1/2次方成反比，或称R与S间存在一种拟反比关系。

    在n=n_o的情况下，不同的R和S坐标点之轨迹对应着一族等流速拟反比曲线。另外，比较K=XY与K=X^2/3Y^1/2这两个函数，前者为一标准的反比曲线，并以Y=X为对称轴；而后者则可粗略地看为围绕着前者的顶点（即K=XY与Y=X的交点）向右旋转某一角度而成。

如令k₀=(n₀V₀)²,则有下式

k₀=R^4/3S=αRS

    其中α是一个待定参数，例如，当R [60m,100m]时，α可取值为4；R [30m,60m]，α可取值为3.5；只要R的取值区间相应缩小，就可确定α的值，使得αR与R^4/3之间的误差任意小（即在R的某一区间，以直代曲）。

于是可得下式：

k₀/α=RS

    由此可见，在一定的条件下，在R与S间存在着稳定的反比关系；或者说,R与S的乘积等于某个常数。因此，在明槽均匀流的情况下，当我们观察某条河流的某个河段时，这时糙率n已经定了，则该河段的R与S间的反比关系近似成立。

    另外，通过简单的数值计算和模拟，我们可以比较k=XY与k=X^2/3Y^1/2这两个函数的变量X及Y之间的替代弹性。当k=1时，在前一个函数中，当X（或R）从2变为4时，Y（或S）则从0.5变为0.25，即水力半径相当于原来的2倍时，坡降变缓为原来的1/2，这时流速保持不变。在后一个函数中（亦令k=1），当X（或R）从2变为4时，Y（或S）则从0.5变为0.158，坡降变缓为原来的31.6%（近似于1/3），这时流速亦保持不变。

    也就是说，当用严格的反比函数去估计明槽均匀流的坡降对水力半径变化的响应时，会得到一个更为稳健的判断：即增加水深至同等程度时，坡降可以变得更缓而保持流速不变。

二、 非均匀流的情况

    在明槽水流不是均匀流的情况下，反比关系是否还成立呢？我们现在对此略作分析。

    在水力学的诸多文献中，经常使用的有两类流速计算公式，一类是对数型流速分布公式，另一类是指数型流速分布公式。张红武在文献[4]中，提出了一个对数流速分布的修正公式，克服了原公式当Z/h很小时出现不合理数值的缺陷（其中h为水深，Z为从河底至测速点的距离），该式如下：

张红武将u =V /C代入上式（其中C为谢才系数），将u 表示如下（V为垂线平均流速，C_n为涡团参数）：

u_m=V（1+ ）

张红武在另一文献中[5]，给出了表面流速u_m的另一表达式（其中系数b₂与水流的相对粗糙情况有关）如下：

u_m=V+b₂

我们将上述两式联立，可得到：

  V（1+ ）=V+b₂

V(1+ -1)=b₂

V =b₂

V= b₂ u

将u_*= 代入上述最后一式可得：

V= b₂C  V= b₂ R^2/3S^1/2,

显然，这一公式与曼宁公式之间的区别只差了一个系数：8b₂/ =2.55b_2。

依据我们前面对曼宁公式的推导，便有：

k_o/（2.55b2 ）=k₁=RS

      由此可知，R与S间的反比关系仍然成立，而在此时，我们已去掉了明槽均匀流对这一反比关系的限制。换言之，在能用对数流速分布公式描述河流流速的地方，R与S间的反比关系就具有相应的普适性。也就是说，在我们观察某条河流的某个河段时，这时糙率n已给定，相应的某种流量水平（如造床流量）之流速也相对稳定，于是该河段的R与S间的反比关系近似成立。

下面我们根据前式k₁=RS，给出△R与△S的关系式（△R＞0，△S＞0）：

k₁=（R+△R）(S-△S)

k₁=RS-R△S+S△R-△R△S

k₁-RS=0=S△R-△S(R+△R)

S△R=△S(R+△R)

△  S/S=△R/(R+△R)

   根据最后一个式子，我们可以很快对下述情况做出估算，即当水力半径增加△R时，坡降的减缓量△S为多少时，流速至少可以不降低（又及：如需展宽河段，减小水深或R，增大S，则可利用

△S/（S+△S）=△R /R）。

三、R-S反比关系的某些应用

    现在要提出的问题是，R-S反比关系有何用处呢？回答是：它可以使我们在平原河流的治理上不犯方向上的错误。

    在林老的相关著述中有很多这样的例子。例如林老在事先未经精密测量的情况下，从葛洲坝河段存在剩余坡降的判断出发，得到在该处建坝抬高20多米水头（加大了R）后不会淤积碍航，从而有力地回答了当时很多这方面的质疑。对此，仅有R-S反变关系还不够，还必须有定量的分析，这就需要R-S反比关系，特别是林老所创立的水库长期使用的理论〔6〕。

    又如，在今后长江治理的第四阶段中，其中心是要在中下游平原河段形成单一深水河床，这将主要通过岸边工程束窄河宽至合理程度，以刷深主槽，堵支并汊，即加大R，减缓S。在这种状况下，R与S间的反变幅度要在何种范围内变化，才能保证必要的水流流速和冲沙能力？这时只须引用R-S反比关系就可对此很快给出数值上的估计（利用前式△S/S=△R/(R+△R)）。例如当R增加10％时，S将减缓9％，R增加100％时，S将减缓50％；在这些相应的组合下，原有的流速至少是不会降低的。

    这一过程大体如下：在束窄河宽的初始阶段，水流流速增加，冲刷能力增强；随着主槽刷深（R增大），河道延长（通过增加河流弯曲度的方式），坡降变缓（S变小），流速有向原值恢复的倾向；此时，河流在被束窄到合理程度时，其冲淤过程进入一个新的平衡阶段。当然，上述束窄河宽的过程要在河岸土壤胶结强度的许可范围内进行。

引文和注释

〔1〕：许炯心：《中国不同自然带的河流过程》，科学出版社，1996年1月。

〔2〕：R＝A/X，其中A为过水断面面积，X为湿周。采用矩形断面，则有下式：

R＝（B h）/（2 h +B），其中B为河宽，h为水深，利用B/h＝ （另一种宽深比），

则有R＝ ，

当河流宽度达到上千米时，R=h。

〔3〕：在郑州河段枯水时节，黄河平均水深约在一至数米的范围内；在大通断面附近长江枯水时节的平均水深应在十数米至数十米范围内。

〔4〕：张红武："  沙水流流速的垂线分布公式"，刊于《河流力学研究》，黄河水利版社，1999年12月。

〔5〕：张红武："黄河下游河道水流摩阻特性的研究"，出处同〔4〕。

〔6〕林一山："论水库长期使用"，刊于《葛洲坝工程的决策（林一山治水文集之二）》（杨世华主编），湖北科学技术出版社，1995年6月。